Charles Pugh - Mathematical Analysis

实数学分析的拓扑学应用
Mathematical Analysis
 
  • 课题背景
真正的分析是最先进数学的基础, 除了纯代数。开始数学的学生在分析中与两件事作斗争: 定义和证明。趋同的定义是什么 ("对于每一个正的ε, 都有正的δ。") 实际上意味着, 如何使用它来显示 x sin(1/x) 收敛到零, 因为 x 收敛到零?正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中,人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。

  • 课题内容
全球指数理论与乔丹曲线。两者都将分析应用于拓扑。虽然两者都涉及到已知的事实, 但你会看到如何自己证明这些事实并且学到什么是有效的证据。

1. 全球指数理论 想象一下, 头发生长在一个球体上, 这样, 每一个头发, 在它的底部, 都与球体相切。在某个地方一定有一个牛皮。如果头发长在圆环牛皮上是没有必要的。全球指数理论暗示着这些事实和更多。做这个研究项目需要你阅读约翰·米尔纳斯的前六章, 《从可区分的观点出发的拓扑》, 并有足够的下位, 以便连贯地对它们进行连贯的演讲。另外, 你应该解决前十二个练习。

2. 乔丹曲线 平面中的一个简单的闭合曲线 j 将其分为两个区域, 一个是有界的, 另一个是无界的, 每个区域都有 j 作为边界。当: j 是圆, j 是三角形, j 是凸面, j 是凸面, j 是凸面, j 是星形, j 是一般多边形, j 是光滑, j 是连续的时候, 你会给出这个事实的完整证明。如果 j 位于气缸、球体、圆环或克莱因瓶上而不是飞机上, 该怎么办?如果 j 被希腊字母 "泰塔" 这样的一套所取代呢?约旦-schoenfliess 定理陈述了什么, 它是如何被证明的?三维的相应情况是什么?
  • 导师信息

Charles Pugh
加州大学伯克利分校数学系终身荣誉教授
(1)芝加哥大学著名访问教授,期间与安托尼·吉格曼德等多名教授 共同创立芝加哥数学分析学派
(2)在二维与三维空间下 C1 封闭引理创始人
(3)发表逾 70 余篇权威著作,其著作《实数学分析》成为拓扑学经典教材
(4)2008 年顶尖数学大会 Pontrjagin 百年会议特邀嘉宾

  • 任职大学
加州大学伯克利分校(University of California, Berkeley),简称伯克利,是世界著名公立研究型大学,位列2016年USNews世界大学排名世界第4,ARWU理科排名世界第1, 工程及计算机均排名世界第3,人文社科也长期位列世界前5,与旧金山南湾的斯坦福大学共同构成了美国西部的学术中心。加州大学伯克利分校培养了70多名诺贝尔奖获得者,其校友还包括苹果、谷歌、和英特尔公司的共同创立者。

  • 学习计划


  • 拓展资料
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实数学分析的拓扑学应用-课纲

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